Математика,
если на нее правильно посмотреть,
отражает не только истину,
но и несравненную красоту.
Бертранд Рассел
История появления.
Первые идеи фрактальной геометрии
возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой
рекурсивной (повторяющейся) процедуры
превратил линию в набор несвязанных точек (так
называемая Пыль Кантора). Он брал линию и
удалял центральную треть и после этого
повторял то же самое с оставшимися
отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии
(рисунок №1). Для ее рисования Пеано
использовал следующий алгоритм.
На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков
длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2
рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся
линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет
всю плоскость. Доказано, что для каждой
точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано.
Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических
объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде
бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность
0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в
результате получалась плоскость.
Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых
приводило к странным результатам, на подобие описанных выше
(Броуновское движение, цены на акции).
Отец фракталов
Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах,
без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не
взялся Бенуа Мандельброт - отец современной фрактальной геометрии и
слова фрактал. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы
в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью
статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового
направления в математике - фрактальной геометрии.
Что же такое фрактал. Сам Мандельброт вывел слово fractal от
латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части).
И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая
из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых
будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере,
приблизительно).
Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример,
приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature"
("Фрактальная геометрия природы") ставший классическим - "Какова длина
берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все
зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив
берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако
мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по
размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до,
скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно
длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с
помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше
миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось
бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега
Британии бесконечна.
